4. Aufgabe (Lineare Algebra: Lineares Gleichungssystem und lin. Abb.)

Der russische Forschungsreisende Göjr Telbesie plant auf seinem speziell für Eisfahrten gebautem Boot Greineunspion eine längere Reise zur weiteren Erforschung der Nordostpassage (das ist der  Seeweg, der an den Nordküsten von Europa und Asien durch das nördliche Eismeer führt). Da er nicht möchte, dass seine Mannschaft an Avitaminosen (Vitaminmangelerkrankungen) leidet [die Erzählungen über Beriberi, Skorbut oder Pellagra kennt ja jeder], muss er beim Einkauf der Nahrungsmittel, insbesondere der für allfällige längere Notsituationen gedachten Nahrungsmittelkonzentrate, sorgfältig auf deren Vitamingehalt achten. Die verschiedenen Konzentrate (er kauft Lebfit, Esspress, Energieprotz und Kaltkost) sind unterschiedlich zusammengesetzt; in der folgenden Tabelle ist der Vitamingehalt für einige besonders wichtige Vitaminkomplexe je Packung in VME (Vitaminmasseneinheiten) angegeben. Außerdem steht in der Tabelle der wissenschaftlich sehr genau ermittelte wöchentliche Bedarf an diesen Vitaminen für einen einzelnen Menschen.

 

Lebfit

Esspress

Energieprotz

Kaltkost

Bedarf

B

5

2

21

34

347

C

2

3

4

7

108

D

3

4

7

12

169

K

1

2

1

2

47

(Die zugehörige Matrizen m41 und m42sowie die Funktion cref  findest du bereits in dem Variablenverzeichnis in deinem  von mir vorbereitetem TI-92)

1. Jede Person erhält einzeln seinen wöchentlichen Bedarf an Konzentrattüten. Kann Göjr Telbesie den Vitaminbedarf jedes Mannschaftsmitgliedes decken, ohne dass angebrochene Tüten von einer Sorte der Nahrungsmittelkonzentrate übrig bleiben?
Verwende bei der Überlegung, ob es eine Lösung dieser Aufgabe geben kann, auch die Begriffswelt der linearen Abbildungen, gib insbesondere eine Basis von Bild
 an (= sei der Name der von dir eingeführten linearen Abbildung) sowie die Bild  definierenden Gleichungen.
Wenn die Frage bejaht wird, wie viele Tüten der einzelnen Sorten könnte er beispielsweise je Woche und je  Mannschaftsmitglied einkaufen? Er hat insgesamt 15 Personen an Bord und rechnet mit einer Reisedauer von einem knappen Jahr. Gib ggf. einen möglichen expliziten Einkaufsplan an;  beachte dabei aber, dass er bei Abnahme von mindestens 3000 Tüten je Konzentratsorte einen Mengenrabatt von 10 %, bei Abnahme von mindestens 6000 Tüten je Sorte einen Rabatt von 20 % erhält.

 

2. Nach einer Kollision mit einem Eisberg gab es einen kleinen Wassereinbruch, der dazu führte, dass eine größere Menge der Kaltkosttüten nicht mehr essbar war. Eine kurze Rechnung ergab, dass je Person und Woche nur noch genau 3 Tüten  Kaltkost ausgegeben werden konnten.
Alle Tüten der vier Sorten wiegen mit Inhalt gleich viel (100 g) . Da es sich um Nahrungsmittelkonzentrate handelt, entspricht die Masse einer Tüte auch der zugeführten Energie. Je Woche soll man mindestens 2500 g und höchstens 3500 g der Konzentratmischung zu sich nehmen. Wie viel von den einzelnen drei anderen Konzentrattüten muss man also mindestens / darf man höchstens je Person und Woche nehmen, wenn sowohl diese Massenrahmenbedingungen als auch die obigen Vitaminbedingungen erfüllt werden sollen. Verdeutliche deine Aussagen an einer graphischen Darstellung der Zusammenhänge.

3. Der Kern einer Abbildung 2 : U à V    sei definiert durch  Ker =   { x  |   2 (x) = 0}
      dabei seien U und V Vektorräume.      

 a) Beschreibe den Kern einer Abbildung mit Worten im vollständigen Satz.
 b) Bestimme eine Basis von Ker für die von dir in 1.) eingeführte Abbildung =.

 

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