4. Aufgabe (Lineare Algebra: Lineares Gleichungssystem und lin. Abb.)
Der russische Forschungsreisende Göjr Telbesie plant auf seinem speziell für Eisfahrten gebautem Boot Greineunspion eine längere Reise zur weiteren Erforschung der Nordostpassage (das ist der Seeweg, der an den Nordküsten von Europa und Asien durch das nördliche Eismeer führt). Da er nicht möchte, dass seine Mannschaft an Avitaminosen (Vitaminmangelerkrankungen) leidet [die Erzählungen über Beriberi, Skorbut oder Pellagra kennt ja jeder], muss er beim Einkauf der Nahrungsmittel, insbesondere der für allfällige längere Notsituationen gedachten Nahrungsmittelkonzentrate, sorgfältig auf deren Vitamingehalt achten. Die verschiedenen Konzentrate (er kauft Lebfit, Esspress, Energieprotz und Kaltkost) sind unterschiedlich zusammengesetzt; in der folgenden Tabelle ist der Vitamingehalt für einige besonders wichtige Vitaminkomplexe je Packung in VME (Vitaminmasseneinheiten) angegeben. Außerdem steht in der Tabelle der wissenschaftlich sehr genau ermittelte wöchentliche Bedarf an diesen Vitaminen für einen einzelnen Menschen.
|
Lebfit |
Esspress |
Energieprotz |
Kaltkost |
Bedarf |
B |
5 |
2 |
21 |
34 |
347 |
C |
2 |
3 |
4 |
7 |
108 |
D |
3 |
4 |
7 |
12 |
169 |
K |
1 |
2 |
1 |
2 |
47 |
(Die zugehörige Matrizen m41 und m42sowie die Funktion cref findest du bereits in dem Variablenverzeichnis in deinem von mir vorbereitetem TI-92)
1. Jede Person erhält einzeln seinen
wöchentlichen Bedarf an Konzentrattüten. Kann Göjr Telbesie den Vitaminbedarf
jedes Mannschaftsmitgliedes decken, ohne dass angebrochene Tüten von einer Sorte
der Nahrungsmittelkonzentrate übrig bleiben?
Verwende bei der Überlegung, ob es eine Lösung dieser Aufgabe geben kann, auch
die Begriffswelt der linearen Abbildungen, gib insbesondere eine Basis
von Bild
an (=
sei der Name der von dir eingeführten linearen Abbildung) sowie die Bild
definierenden Gleichungen.
Wenn die Frage bejaht wird, wie viele Tüten der einzelnen Sorten könnte er
beispielsweise je Woche und je Mannschaftsmitglied einkaufen? Er hat insgesamt
15 Personen an Bord und rechnet mit einer Reisedauer von einem knappen Jahr. Gib
ggf. einen möglichen expliziten Einkaufsplan an; beachte dabei
aber, dass er bei Abnahme von mindestens 3000 Tüten je Konzentratsorte einen
Mengenrabatt von 10 %, bei Abnahme von mindestens 6000 Tüten je Sorte einen
Rabatt von 20 % erhält.
2. Nach einer Kollision mit einem Eisberg gab es
einen kleinen Wassereinbruch, der dazu führte, dass eine größere Menge der
Kaltkosttüten nicht mehr essbar war. Eine kurze Rechnung ergab, dass je Person
und Woche nur noch genau 3 Tüten Kaltkost ausgegeben werden konnten.
Alle Tüten der vier Sorten wiegen mit Inhalt gleich viel (100 g) . Da es sich um
Nahrungsmittelkonzentrate handelt, entspricht die Masse einer Tüte auch der
zugeführten Energie. Je Woche soll man mindestens 2500 g und höchstens 3500 g
der Konzentratmischung zu sich nehmen. Wie viel von den einzelnen drei anderen
Konzentrattüten muss man also mindestens / darf man höchstens je Person und
Woche nehmen, wenn sowohl diese Massenrahmenbedingungen als auch die obigen
Vitaminbedingungen erfüllt werden sollen. Verdeutliche deine Aussagen an einer
graphischen Darstellung der Zusammenhänge.
3. Der
Kern einer Abbildung 2
: U à V sei definiert durch Ker = { x
|
2
(x)
= 0}
dabei seien U und V Vektorräume.
a) Beschreibe den Kern einer
Abbildung mit Worten im vollständigen Satz.
b) Bestimme eine Basis von Ker für die von dir in 1.)
eingeführte Abbildung =.
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