LK-Abitur-Aufgabe (Verbindung Lineare Algebra / Analysis: Pyramide mit Parabel)

Die Sektion "Niederelbe" des Deutschen Alpenvereins (DAV) hat in ihrem Vereinshaus das Modell des "Pyr2" (ein sogenannter Pyramidenberg im mittleren Nordwesten des Himalayas)  stehen, der sich als dreiseitige Pyramide aus einer geneigten Hochebene heraus erhebt. Die Oberfläche des Modells ist aus abwaschbarem Pyramidoloxyd hergestellt, von der die mit einem Alpstift aufgetragenen Routenverläufe der Bergwanderungen leicht wieder entfernt werden können.
Die Lage der Fußpunkte der Pyramide ist durch die Koordinaten A = ( 2 / 1 / 0) ,
B = ( 14 / 1 / 0 ) und C = (3 / 16 / 6 ) gegeben , die Spitze liegt bei D = ( 6 / 9 / 15).

1. Zeichne eine Höhenkarte des Pyramidenberges. (Abstand der Höhenlinien: 3 Einheiten)

2. Nur die drei Seitenflächen des Modellbergs werden aus dem recht teuren Pyramidoloxyd hergestellt.
Um den Zuschnitt der Seitenflächen günstig zu gestalten, werden zunächst Papierschablonen von ihnen hergestellt. Stelle dazu in einem geeignetem u-v-Koordinatensystem die Fläche ABD unverzerrt dar.

3. Der Bergkamerad Kraxlhuber will von seinem (nicht ganz geglückten) Besteigungsversuch des "Pyr2" berichten. Er ging zunächst mit recht geringer Steigung von A in Richtung C, machte auf der Hälfte der Strecke AC  im Punkt H kehrt und ging nun (zum Eingewöhnen schon  mit der Steigung des späteren Grates AD ; die Steigung des Grates AD beträgt 15/Wurzel(80)  ) auf der Ebene ACD geradlinig weiter bis zur Kante AD , die er im Punkt E traf. Auf dem Grat AD   ging er nur noch bis zum Punkt P = ( r / s / 9 ), der sich also in der Höhe 9 Einheiten befand. 
Leider hatte er sich (wegen der dünnen Luft und zu geringen Trainings) zu sehr verausgabt - den Plan, als erster Mensch die Spitze D des "Pyr2" über den Grat AD zu erreichen, musste er aufgeben. Etwas höher wollte er schon noch, aber (wegen seiner Erschöpfung) mit ständig abnehmender Steigung. Er entschloss sich daher, von P aus auf der Ebene ABD einen Weg zu nehmen, der durch eine nach oben gewölbte Parabel gekennzeichnet war. Dabei sollte der Grat AD Tangente an die Parabel in P sein und der Scheitel der Parabel sollte auf der von der Spitze D ausgehenden Falllinie auf der Ebene ABD liegen (Falllinie: Gerade, die eine frei rollende Kugel auf der geneigten Ebene nehmen wird, wenn sie in D startet).

a) Führe die Berechnungen durch, die notwendig sind, um die Richtung von H nach E zu bestimmen [die Berechnung der Koordinaten von E soll nicht durch dich erfolgen].

b) Bestimme die Koordinaten von P zunächst im x-y-z-Koordinatensystem und dann
im u-v-Koordinatensystem von 2.).
[zur Kontrolle: Es ergibt sich P = ( 4,4 / 5,8 / 9 )  bzw.  P = ( 2,4 / 10,2 ) ]

c) Gib [in dem u-v-Koordinatensystem von 2.)] die Funktion an, die zu dem Parabelweg auf ABD gehört. Wie weit ist Herr Kraxlhuber auf der ABD-Ebene vom Gipfel entfernt? Kläre, ob er auf dieser Parabel bis zur unteren Kante AB kommt oder vorher auf BD stößt. Zeichne dann - ohne weitere Berechnungen - seinen Weg  auf der Karte aus 2.) ein.

[Alle Größenangaben bitte näherungsweise mit 3 gültigen Ziffern angeben]
Hilfsmittel: TI-92 (Symbolischer Taschenrechner), Tafelwerk einschl. Formelsammlung (Kemnitz/Engelhard), Geo-Dreieck
Gib bei Benutzung des TI-92 immer kurz an, wie du ihn eingesetzt hast.

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