TI-92
und DERIVE :
Lückenwarnung
bezüglich einer Anwendung in der Linearen Algebra
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a)
Problem:
Sind
alle Koeffizienten eines Linearen Gleichungssystems (LGS) feste reelle
Zahlen, kann man die zugehörige Matrix eingeben, beim TI-92 mit rref(Matrix)
das Gauss-Verfahren anwenden und erhält in übersichtlicher Form
(reduzierte Zeilenstaffelform) Aussagen über die Lösungen; entprechend
in DERIVE mit Row_Reduce.
Sind
aber auch Parameter bei den Koeffizienten oder Konstanten vorhanden,
kann es Überraschungen geben.
Zur
Illustration betrachten wir ein sehr einfaches Beispiel eines LGS:
2 x + 3 y = 7 und
4 x + 6 y = w mit w beliebige reelle Zahl.
Zur
Bestimmung der Lösungsmenge dieses LGS betrachten wir die zugehörige
Matrix.
#1:
w : Real
#2:
Matrix:
| 2 3 7 |
| 4 6 w |
#3:
ROW_REDUCE (#2) (oder rref(#2) beim TI-92)
Simp(#3):
ergibt
#4:
Matrix:
| 1 3/2 0 |
| 0 0 1 |
Interpretation:
1*x + 3/2 * y = 0
0*x + 0*y = 1
Da
die zweite Gleichung auf einen Widerspruch führt, wird geschlossen:
Das LGS hat in jedem Fall keine Lösung.
Nun
hat das gegebene LGS aber offensichtlich für w = 14 beliebig
viele Lösungen.
Spezialisierung
(von #2) ergibt
#4a
| 2 3 7 |
| 4 6 14 |
#5:
ROW_REDUCE (#4a) (oder rref(#4a) beim TI-92)
#6
| 1 3/2 7/2 |
| 0 0 0 |
also
1*x + 3/2 * y = 7/2 beschreibt alle Lösungspaare.
#6
sollte eigentlich eine Spezialisierung von #4 sein, gibt aber in der letzten
Zeile eine wesentlich andere Information.
Die
Variable w ist in #4in der dritten Spalte verschwunden; das kann zu dem
voreiligen Schluss, führen, dass es in keinem Fall eine Lösung
gibt.
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In
diesem einfachen Beispiel konnte man den Fehler mit einem Blick erkennen.
Aber
z.B. bei dem LGS
x - 5*y + r*z = s
(#7)
2*x + y + s*z = r
x + y + z
= 0
ist der "verloren" gegangene Fall nicht so schnell zu ermitteln
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zur Betrachtung dieses etwas komplexeren Beispiels
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